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公理集合论基础（上）：空集和罗素悖论## 创造自然数（ZF3: 对集公理、ZF4: 并集公理）

在上篇文章中，我们成功地定义了一个唯一的集合，叫做空集，并解决了罗素悖论。下面，我们要用空集来建造更多的集合。为此，我们需要更多的构造性公理。

21/03/2025：本文大改

什么是微分形式不变性？

按照教科书上所说，微分形式不变性的意思是：做变量替换，微分等式的形式不变。即：

如果，当 $\mathrm{d}y$ 中的 $y$ 指函数 $y=f(x)$ ，$\mathrm{d}x$ 中的 $x$ 指函数 $\phi(x)=x$ 时，有 $\mathrm{d}y=a\mathrm{d}x$ 成立，也就是 $\mathrm{d}f=a\mathrm{d}\phi$ 成立，

一 微分是无穷小？

物理人喜欢把微分看做是一个很小的量，这在计算时总是很方便的，但是给人一种不严谨的感觉。

实际上，它确实不严谨，第二次数学危机就是因此产生的。

预告

读完本文，你将会了解 ZF 公理集合论的前三个公理——“存在公理”、“外延公理”以及“分离公理模式”，并用它们解决罗素悖论，以及定义空集。

前言

我们常听到“集合论是现代数学的基础”这样的说法。在很多人看来，中学所学的集合论就是一些集合和简单的运算，怎么会是基础呢？要理解这一点，我们必须了解集合论是如何公理化的。

前言

每当物理人进行诸如积分号下求导，积分换序等操作的时候，围观的数学人都要坐不住了：

“你这个广义积分/级数是一致收敛的吗？”

物理人回答：

“一致收敛是啥？我们一直都是这么干的”