别再被数学系同学鄙视了！物理人做换序操作时需要知道的一致收敛

前言

每当物理人进行诸如积分号下求导，积分换序等操作的时候，围观的数学人都要坐不住了：

“你这个广义积分/级数是一致收敛的吗？”

物理人回答：

“一致收敛是啥？我们一直都是这么干的”

亦或是：

“假设这个函数的性质足够好”

或者更离谱：

“假设这个函数长得比较漂亮”

looks good

…

于是数学人骂骂咧咧地离开了…

图源互联网，侵删

不过，身为物理人，了解一下这些数学上严格的条件没有什么坏处。

本文旨在厘清与一致收敛有关的物理中常用的“危险操作”。

一睹为快

一致收敛保证了换序的合法性。包括：

• 无穷求和号与极限号换序
• 无穷求和号与求导号换序
• 无穷求和号与积分号换序
• 广义积分号与极限号换序
• 广义积分号与求导号换序
• 广义积分号与积分号换序

一、函数项级数

我们都知道：

1. 两个连续函数相加还是连续函数。

2. 两个函数的导数的和，与和的导数没有什么不同。

3. 两个函数在某个区间上的黎曼积分的和应该等于和的黎曼积分。

这是由于极限、导数、积分具有线性性（linearity）。

可是如果不是两个函数相加，而是无穷多个函数相加呢？

无穷多个函数相加，就叫做函数项级数。

泰勒级数，傅里叶级数这类函数项级数，都涉及无穷多个函数的和。

经验表明，无穷项的和与有穷项的和有很大不同。如果不小心处理，可能会得出一些荒谬的结论。

1.1 函数项级数的一致收敛

那么，上面的三个性质（逐项相加、逐项求导、逐项积分），要推广到无穷多个函数的和，需要注意什么呢？

没错，就是一致收敛。

定义 1.1（函数项级数的一致收敛）
设 $S_n(x)$ 为函数项级数的部分和，则称满足 $\lim_{n\rightarrow \infty} \sup_{x\in D}|S_n(x)-S(x)|=0$ 的级数在 $D$ 上一致收敛于 $S(x)$ 。

翻译成自然语言就是，如果部分和函数与 $S(x)$ 的差的绝对值（也是一个函数）存在一个可以控制的（与自变量 $x$ 无关的）上界，那么部分和函数一致收敛于$S(x)$。

这个定义对普通的函数列也适用，只需把 $S_n(x)$ 换成函数列的一般项即可。

例 1.1
为了使读者看出，一致收敛比普通的逐点收敛要强，举一个简单的例子。设部分和函数（或函数列的一般项）是 $S_n(x)=x^n$ ，显然，在区间 $[0,1]$ 上，它逐点收敛于这个函数 ：

$$ S(x)= \begin{cases} 0&0\le x\lt 1\\ 1&x=1 \end{cases} $$

但是不论 $n$ 多大，部分和函数 $S_n(x)$ 总是能取到 $0.5$ 这个值（根据部分和函数连续以及介值定理），换言之， $\forall n\exists x_0(S_n(x_0)=0.5)$ 。这就使得控制上界成为了不可能的事情，总是有那么一些 $x$ 你是管不住的。实际上，在这个例子中，不论 $n$ 多大，误差的上确界（就是那个 $\sup$ 符号）总是 $1$ 。
而一致收敛则可以同时管住所有 $f(x)$ ，让它们同时按照你想要的上界 $\epsilon$ ，任意接近目标函数。

例 1.2
再举一个简单的例子。
假如我们想到了一个很蠢的点子，用 $y=\mathrm{e}^{\alpha x}\,(\alpha\rightarrow0)$ 来逼近 $y=1$。
于是我们可以考虑函数列 $\varphi_k(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{k}x}$ 。显然 $\lim_{k\rightarrow \infty}\mathrm{e}^{\frac{1}{k}x}=1$ 对所有 $x$ 都成立。
但是，只要 $\frac{1}{k}\ne 0$ ， $\varphi_k(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{k}x}$ 在 $\mathbb{R}$ 上就是无界的。
假如你的老板给你定下了一个目标 $\epsilon$ ，并命令你找一个 $N$ ，使得当 $k\gt N$ 时， 误差 $\left|\mathrm{e}^{\frac{1}{k}x}-1\right|\lt \epsilon$ 对所有 $x$ 成立，那么你可能要考虑辞职了，因为这显然是一个不可能完成的任务。不管你找多么大的 $N$ ，一定会有更大的 $x$ 导致计划破裂。假设对 $\epsilon =1$ 的情况，你找到了满足要求的 $N$ ，那么你的老板只需要令 $x=2N$ ，就有 $\left|\mathrm{e}^{\frac{1}{k}2N}-1\right|\gt \mathrm{e}-1\gt 1\quad (N\lt k\lt 2N)$ 。

1.2 函数项级数：一致收敛与换序

下面我们看看换序是怎么一回事。

定理 1.1（函数项级数的连续性、可微性、可积性）

如果级数 $\sum_{k}f_k(x)$ 一致收敛，则

(a) 若级数的每项连续，则级数的和连续。换言之，求和号可以与极限符号换序：
$\lim_{x\rightarrow x_0}\sum_{k} f_k(x)=\sum_{k} \lim_{x\rightarrow x_0} f_k(x)$ 。

(b) 若级数的每项的导函数连续，且导函数构成的级数一致收敛，则级数可以逐项求导。换言之，求和号可以与求导符号换序：
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sum_{k} f_k(x)=\sum_{k} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f_k(x) $ 。

(c) 若级数的每项连续，则级数可以逐项积分。换言之，求和号可以与积分号换序：
$\int_{M}\sum_{k} f_k(x) \mathrm{d}x=\sum_{k} \int_{M}f_k(x) \mathrm{d}x$ （下标M表示在区间M上的定积分）。

可以看到，物理人喜闻乐见的各种换序，可以由一致收敛来保证其正当性。

注：在定理 1.1(b) 中，注意要求导函数构成的级数一致收敛。
另外，在定理 1.1(b) 中，如果原级数收敛，那么导函数构级数一致收敛加上导函数每项连续，可以推出原级数一致收敛。

例 1.3
回到之前的例子 $S(x)=x^1+(x^2-x^1)+(x^3-x^2)+\cdots= \begin{cases} 0&0\le x\lt 1\\ 1&x=1 \end{cases}$ 。这个级数的每项都连续，可是和却不连续，所以它不是一致收敛的。

实际上，定理 1.1(b) 和 1.1(c) 是如下定理的直接推论：

若 $\{\varphi_k(x)\}$ 一致收敛于 $f(x)$ ，且对所有 $k$ ，$\varphi_k{(x)}$ 连续，则有：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\lim_{k\rightarrow \infty} \varphi_k(x)=\lim_{k\rightarrow \infty} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \varphi_k(x) $ ，以及$\int_{M}f(x){\mathrm{d}x}=\int_{M}\lim_{k\rightarrow \infty} \varphi_k(x){\mathrm{d}x}=\lim_{k\rightarrow \infty} \int_{M} \varphi_k(x) {\mathrm{d}x}$

只要将该定理的一般项 $\varphi_k(x)$ 换成部分和 $S_k(x)$ 即可。于是我们又掌握了极限号与求导号换序，以及极限号与积分号换序。由于函数列在物理里通常是以部分和的形式出现的，所以这两个换序不会怎么用到。

值得一提的是，上述换序时所说的“求和号”，是指无穷求和。如果只是对有限项求和，那就根本算不上级数，收敛也就无从谈起。当然，有限项的换序是很安全的，直接换就可以了。

二、含参变量广义积分

2.1 含参变量积分

在求级数和的时候，我们可以这样想，函数项级数的每一项本来与序数和自变量都有关，即

$$\varphi(x;k)=\varphi_k(x)$$

而对 $k$ 求和，就让 $k$ 这个字母消失了：

$$\sum_{k}\varphi_k(x)=S(x)$$

只剩下了 $x$ 。

类似地，对积分也可以这么做，设想某个量与两个量有关： $y=\varphi(x,s)$

现在我们不对 $s$ 求和了，而是对 $s$ 求积分：

$$\int_{a}^{b}\varphi(x,s)\mathrm{d}s=f(x)$$

这样就让 $s$ 消失，只留下了 $x$ 。

这就是含参变量积分。在这里 $x$ 是参数，选取不同的 $x$ ，可以让该积分有不同的值。

例 4
观察 $\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x=1$ ，$\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-2x}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}$ ，$\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-3x}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}$，…
可见 $\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-kx}\mathrm{d}x$ 对 $k$ 应该有一个函数关系。实际上这个关系就是 $\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-kx}\mathrm{d}x=\frac{1}{k}\quad (k\gt 0)$ ，这是很容易证明的。
这里的 $k$ 就是含参变量积分的“参变量”。

2.2 含参变量积分：换序

我们感兴趣的是，含参变量积分关于参数有什么样的性质，比如它对参变量连续吗？即 $\int_{a}^{b}\varphi(x,s)\mathrm{d}s=f(x)$ 连续吗？

还有一些更有趣的问题，比如它可以积分号下求导吗？

例 5

对 $\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-kx}\mathrm{d}x=\frac{1}{k}\quad (k\gt 0)$ 两边求导得 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-kx}\mathrm{d}x=-\frac{1}{k^2}\quad (k\gt 0)$

不难发现，将求导放到积分号里面去，结果竟然也正确：$\int_{0}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial k}\mathrm{e}^{-kx}\mathrm{d}x=-\frac{1}{k^2}\quad (k\gt 0)$

这种操作什么时候是允许的呢？下面的定理回答了这个问题：

定理 2.1（含参黎曼积分的连续性、可微性、可积性）

$I(y)=\int_{\alpha}f(x,y)\mathrm{d}x, \, x\in \alpha, \, y \in \beta$ ， $\alpha$ 和 $\beta$ 是有界闭区间。

(a) 若 $f$ 在 $\alpha \times \beta$ 上连续，则 $I(y)$ 在 $\beta$ 上连续。换言之，极限号和积分号可以换序。

(b) 若 $f$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 在 $\alpha \times \beta$ 上连续，则 $I(y)$ 在 $\beta$ 上可微，且 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}I(y)=\int_{\alpha}\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\mathrm{d}y$ 。换言之，求导和积分可以换序。

(c) 若 $f$ 在 $\alpha \times \beta$ 上连续，则 $I(y)$ 在 $\beta$ 上可积，且 $\int_{\beta}\mathrm{d}y\int_{\alpha}f(x,y)\mathrm{d}x=\int_{\alpha}\mathrm{d}x\int_{\beta}f(x,y)\mathrm{d}y$ 。换言之，积分号之间可以换序。

读者可能心生疑问：这里并没有一致收敛啊？那是当然的。闭区间上的积分总是有界的，根本不会发散，也就没有收敛的概念，更不用说一致收敛了。但是，广义积分不一定收敛。下面我们就来看看广义积分。

2.3 含参变量广义积分

所谓广义积分，简单理解就是指在无界区间或者有界开区间上的积分。它们有可能不收敛！

无界区间上的广义积分$\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 的收敛性定义为，对于任意 $\epsilon\gt 0$ ，存在 $N$ ，使得当 $M\gt N$ 时， $\left|\int_{M}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\right|\lt \epsilon$ 。

2.4 含参变量广义积分：一致收敛与换序

如果给 $f(x)$ 再加一个参数 $f(x;y)$ （这里参数又换成 $y$ 了，希望你没有被搞晕），同样的问题又出现了：是否对于所有不同的参数 $y$ ，我们都能用一个 $N$ 控制住误差？这就是广义积分的一致收敛问题。

定义二（含参广义积分的一致收敛）

若对于任意 $\epsilon\gt 0$ ，存在 $N(\epsilon)$ ，使得当 $M\gt N(\epsilon)$ 时， $\left|\int_{M}^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}x\right|\lt \epsilon$ ，则称广义积分 $\int_{a}^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}x$ 一致收敛。

（或 $\lim_{M\rightarrow \infty} \sup_{y\in \beta}\left|\int_{M}^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}x\right|=0$）

可见，如果广义积分一致收敛，由于 $N(\epsilon)$ 与 $y$ 无关，对于任意给定的上界 $\epsilon$ ，我们都可以只用一个 $N(\epsilon)$ ，一次性管住所有 $y$ ，而不需要为每个 $y$ 量身定制一套 $N(\epsilon,y)$ 。这与前面函数项级数的情况是类似的。

对于其他类型的广义积分，如有界开区间上的广义积分，讨论方法类似，不再赘述。

含参变量广义积分的相关定理，只需要在含参变量黎曼积分（定理 2.1 ）的基础上加上一致收敛的条件即可。

定理 2.3（含参广义积分的连续性、可微性、可积性）

已知广义积分 $I(y)=\int_{\alpha}f(x,y)\mathrm{d}x, \, x\in \alpha, \, y \in \beta$ ，$\beta$ 是有界闭区间，且 $I(y)$ 一致收敛。

a) 若 $f$ 在 $\alpha \times \beta$ 上连续，则 $I(y)$ 在 $\beta$ 上连续。换言之，极限号和积分号可以换序。

b) 若 $f$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 在 $\alpha \times \beta$ 上连续，且$\int_{\alpha}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\mathrm{d}x$ 一致收敛，则 $I(y)$ 在 $\beta$ 上可微，且 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}I(y)=\int_{\alpha}\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\mathrm{d}y$ 。换言之，求导和积分可以换序。

c) 若 $f$ 在 $\alpha \times \beta$ 上连续，则 $I(y)$ 在 $\beta$ 上可积，且 $\int_{\beta}\mathrm{d}y\int_{\alpha}f(x,y)\mathrm{d}x=\int_{\alpha}\mathrm{d}x\int_{\beta}f(x,y)\mathrm{d}y$ 。换言之，积分号之间可以换序。

所以，对于普通的黎曼积分，只需要连续即可各种换序，不需要一致收敛（也不存在一致收敛的概念，正如有限项函数求和不需要收敛）。但对于广义积分来说，换序的操作还是要求一致收敛的。

总结

上文讨论了两种一致收敛，一种是函数项级数的一致收敛，另一种是含参广义积分的一致收敛。

根据定理 1.1，函数项级数的一致收敛保证了以下操作的合法性：

无穷求和号与极限号换序、

无穷求和号与求导号换序、

无穷求和号与积分号换序。

根据定理 2.2，含参广义积分的一致收敛保证了以下操作的合法性：

广义积分号与极限号换序、

广义积分号与求导号换序、

广义积分号与积分号换序。

与求导号换序时，要注意不仅原级数要一致收敛，而且导函数级数也要一致收敛。