公理集合论基础（上）：空集和罗素悖论

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读完本文，你将会了解 ZF 公理集合论的前三个公理——“存在公理”、“外延公理”以及“分离公理模式”，并用它们解决罗素悖论，以及定义空集。

前言

我们常听到“集合论是现代数学的基础”这样的说法。在很多人看来，中学所学的集合论就是一些集合和简单的运算，怎么会是基础呢？要理解这一点，我们必须了解集合论是如何公理化的。

自欧几里得《几何原本》以来，公理化的观念深入人心。公理化的意义无需赘言。微积分的公理化解决了第二次数学危机（贝克莱对牛顿微积分中“无穷小”的责难）；集合论的公理化则解决了第三次数学危机。然而，与古希腊的那种传统公理化方式不同，现代数学的公理化脱离了自然语言，而建立于符号语言上。为什么要这样做？

在弗朗西斯·培根的偶像理论中，“市场偶像（Idol of the market place）”描述了自然语言的模糊性和歧义性所导致的假象。这是追求严谨性的数学应该避免的。第三次数学危机使人们意识到，用自然语言描述数学对象是危险的。无论你的自然语言看似多么密不透风，也有可能给谬误以可乘之机。

解决这个问题的唯一办法，就是抛弃自然语言，转而使用符号语言。这些符号语言构成现代逻辑学的公理系统。研究这些符号语言的学科就叫做数理逻辑（Mathematical logic）。

本文旨在梳理人们是如何利用符号语言，将现代数学建立在集合论的基础之上的。因此，在介绍公理集合论之前，我们需要介绍数理逻辑，以及最基本的两种逻辑系统：命题逻辑（Propositional Logic）系统和一阶逻辑（First-Order Logic）系统。

数理逻辑简介

自然语言之所以存在漏洞，一部分是因为，它是由人的心智创造并解读的。而人的心智“不是白板（tabula rasa）”。由于隐含的扭曲，它不是一个完美的能够完全接受世界中形象的平面，而是一个弯曲的镜子。换言之，人的心智天生就容易被欺骗。

符号语言之所以取得成功，就是因为它脱离了人的心智，只留下了形式化的规则。理论上，计算机也可以使用这样的语言进行推理，而不会出错。这是因为，符号语言没有模糊性和多义性，一切都是严格确定的。我们只需以适当的方式确定组织符号的规则，使得从它们出发，就可以重建我们所熟悉的数学。这样一来，数学就建立在了坚实的基础上，绝不可能出错。在这样严密的审视之下，我们不会留给“罗素悖论”这类谬误以任何可乘之机。

那么这些符号规则从哪来？答案是数理逻辑。**正如我们希望用集合论公理决定“如何定义新的集合是合法的”，数理逻辑决定“符号如何构成公式（也就是一串符号）是合法的”。**本质上，数学中的定义，定理，证明，在底层都是一串串符号，正如计算机的底层都是1和0。

像 “p→p” 这样显然的逻辑规则，在数理逻辑中是需要证明的。你可能觉得从语义上可以直接看出这一点，但我们现在希望从语法的角度，而非语义的角度，去研究各种各样的式子以及它们的合法性。

更具体地说，语义学负责研究人类的心智如何阐释（Interpret）一串符号，或者说一串符号如何借助人类的心智来指称现实世界的各种实体。但数理逻辑研究的并不是语义，而是语法。语法的作用，正如前文所说，是判断**“符号如何构成公式（也就是一串符号）是合法的”**。换句话说，语法指的是我们用符号来生成公式（也就是一串符号）的规则。为了建立坚实的符号语言系统，我们应该单独研究语法。这就是数理逻辑的初衷。

**数理逻辑是关于逻辑的学科，而不是“关于数学和物理的逻辑”。**数理逻辑是一门已经发展成熟的学科。集合论就建立在数理逻辑中的一阶逻辑的基础之上。

命题逻辑

$\neg a$ 表示“并非 $a$ ”。如果 $a$ 是真的，那么 $\neg a$ 是假的，反之亦然。换言之， $\neg$ 的真值表为

其中 T 表示真（True），F 表示假（False）。

$a \vee b$ 表示“ $a$ 或 $b$ ”。

$a \wedge b$ 表示“ $a$ 且 $b$ ”，它等价于“ $\neg(\neg a\vee \neg b)$ ”。它们的真值表是很容易的。

$a\rightarrow b$ 表示“若 $a$ 则 $b$ ”，或“ $a$ 蕴涵 $b$ ”。它的真值表如下

“a”那一列不难理解：真命题能推出真命题，不能推出假命题。而“¬a**”那一列似乎表明“假命题蕴涵一切命题”。为什么要这么规定？**详情可见：

逻辑学中，前提为假而命题为真的推论如何解释？

另外，在后文的各种例子中，读者也可以体会到为什么要规定“假命题蕴涵一切命题”。

【选读 1】“ $a\rightarrow b$ ”等价于“ $(\neg a)\vee b$ ”，为了看出这一点，你只需要把四种情况代入真值表验证。

具体来说，当 $a$ 为真的时候， $\neg a$ 为假，那么“ $(\neg a)\vee b$ ”的真值就取决于 $b$ 。当 $a$ 为假的时候，$\neg a$ 为真，那么不论 $b$ 的真值如何，“ $(\neg a)\vee b$ ”都是真的。可见，“ $a\rightarrow b$ ”与“ $(\neg a)\vee b$ ”的真值表相同。

定义 $a\leftrightarrow b$ 为 $(a\rightarrow b)\wedge(b\rightarrow a)$ 。

【选读 2】可以看出，我们只需要 $\{\neg,\vee\}$ 就可以得到所有命题联结词 $\{\neg,\wedge,\vee,\rightarrow, \leftrightarrow \}$ 。前者叫做命题联结词的充足集。$\{\neg,\rightarrow\}$ 、$\{\neg,\wedge\}$ 等也是命题联结词的充足集。

命题逻辑的公理系统包括四个部分：符号库、形成规则、公理、推演规则（见选读 3）。我们在这里不必深究命题逻辑系统如何导出那些显然的逻辑规则（在命题逻辑的公理系统中，像 p→p 这样显然的公式是需要证明的）。我们只需要知道：我们的符号和逻辑的基础是坚实的。如果你实在很担心这一点，可以先学习数理逻辑，再学习公理集合论。

【选读 3】命题逻辑的公理系统 L

1. 命题逻辑的公理系统包括四个部分：符号库、形成规则、公理、推演规则

命题逻辑公理系统 L 的符号库为 p1, p2, …, ¬, →, (, ) 注意最后两个符号是括号。

之所以没有 ∧ 和 ∨ 等符号，是因为它们可以用 ¬ 和 → 表示出来（见选读 1 和 2）。

一切语句都应当用符号库中的符号组成。但这也不意味着随机组成的一串符号，如((p1→，是合法的。为了组成合法的语句，我们还需要有形成规则。

2. 公理系统 L 的形成规则有两个：(¬A) 以及 (A→B)。

它们表示什么样的公式（符号序列）是符合语法的。

注意，A 和 B 不是符号库中的符号，它们表示任意公式。公式是指一串符号组成的序列。

例如，我们可以先用第二个规则生成 (p1→p2)，再用第一个规则生成 (¬p3)，最后由第二个规则生成 ((¬p3)→(p1→p2))，这在语法上是一个合法的公式。

3. 公理系统 L 的三个公理为

L1: (A→(B→A))
L2: ((A→(B→C))→((A→B)→(A→C)))
L3: (((¬B)→(¬A))→(A→B))

它们负责将公理系统 L 与古典逻辑联系起来。由这些公理，我们可以导出推演出古典逻辑中的所有公式。当然，我们还没有定义什么是推演。这就引出了下面要介绍的推演规则。

4. 公理系统的推演规则： 由 A 和 A→B 可以推演出 B。它又叫分离规则。推演规则告诉我们如何证明新的公式。注意，证明和蕴涵是两个不同的概念。

综上所述，公理系统 L 由符号库、形成规则、公理、推演规则组成。

下面我们来证明 p→p。

根据公理 L1: (p→((p→p)→p))
根据公理 L2: ((p→((p→p)→p))→((p→(p→p))→(p→p)))
根据推演规则: ((p→(p→p))→(p→p))
再根据公理 L1: (p→(p→p))
根据推演规则: (p→p)，证毕

为什么不把 (p→p) 这样简单且符合直觉的公式当做公理？公理不应该是自明之理吗？这是因为从 L1, L2, L3， 我们可以推出所有古典逻辑公式（这里还未包括一阶逻辑），并且 L1, L2, L3 之间没有任何的交叉与冗余。换句话说，这样做可以使公理的数目最少。

再换言之，我们不是要把“符合直觉”的东西当做公理，而是尽量把少的东西当做公理。公理越简洁越好。

到此为止，我们介绍了命题逻辑的一个公理系统 L。

一阶逻辑

以上介绍的 $\{\neg,\wedge,\vee,\rightarrow, \leftrightarrow \}$ 叫做命题联结词，它们加上形成规则、公理、推演规则，可以构成一个命题逻辑系统。接下来我们看看量词。命题逻辑系统加上量词及其相关的规则和公理，就成为了一个一阶逻辑系统。

$\exists x(\varphi(x))$ 表示“存在 $x$ 满足 $\varphi(x)$ ”，其中 $\varphi(x)$ 是 $x$ 的一个性质。

$\forall x(\varphi(x))$ 表示“对任意 $x$ 都有 $\varphi(x)$ ”。它等价于“ $\neg \exists x \neg\varphi(x)$ ”，即“不存在不满足 $\varphi(x)$ 的 $x$”。

可见，量词只需要 $\exists$ 就充足了， $\forall$ 可以用 $\exists$ 表示出来。

下面是一些简单的训练，它们将进一步帮助你熟悉一阶逻辑系统——公理集合论的符号语言。

1. $\forall x(x\in A\rightarrow \varphi(x))$ 可以简写成 $\forall x\in A, \varphi(x)$ 。它表示“对于 $A$ 中的所有 $x$ ，都有 $\varphi(x)$ ”。

2. $\forall x(x\in A\leftrightarrow \varphi(x))$ 表示“对于 $A$ 中的所有 $x$ ，都有 $\varphi(x)$ ，并且，满足 $\varphi(x)$ 的 $x$ 都属于 $A$ ”。换言之， $A$ 中有且仅有那些满足性质 $\varphi$ 的元素。

3. $\exists x(x\in A \wedge \varphi(x))$ 可以简写成 $\exists x\in A, \varphi(x)$ ，它表示“在 $A$ 中存在某个 $x$ ，使得 $\varphi(x)$ ”。

【选读4】**注意将 1) 与 3) 对比！**在 3) 中，不可以把“ $\wedge$ ”换成“ $\rightarrow$ ”，写成 $\exists x(x\in A \rightarrow \varphi(x))$ 。

这是因为，如果存在一个不属于 $A$ 的 $x$ （这实际上是必然的，因为我们后面将会证明，不存在包含一切的集合），那么 $x\in A$ 就是假的。而假命题蕴涵一切（见命题逻辑），那么它也就可以推出 $\varphi(x)$ 。于是这个式子的意思就是“只要 $x$ 不属于 $A$ ，它就满足 $\varphi$ ”，这不是我们的本意。

那么，为什么 1) 中使用符号“ $\rightarrow$ ”而不是“ $\wedge$ ”呢？

先来看为什么使用“ $\rightarrow$ ”。量词“ $\forall$ ”意味着要取遍所有的 $x$，我们分 $x\in A$ 和 $x\notin A$ 两种情况讨论。

一方面，如果 $x$ 属于 $A$ ，那么 $x\in A$ 就是真的，为了使 $x\in A \rightarrow \varphi(x)$ 为真，根据真值表，我们只能要求 $\varphi(x)$ 为真；

另一方面，如果 $x$ 不属于 $A$ ，那么 $x\in A$ 就是假的，根据真值表，假命题可以推出任何命题，所以 $x\in A \rightarrow \varphi(x)$ 是真的，即在这个情况下，它没有告诉我们更多信息。

综合以上两种情况，我们得出结论： $x\in A \rightarrow \varphi(x)$ 为真，当且仅当“对于 $A$ 中的所有 $x$ ，都有 $\varphi(x)$”。这正是我们想表达的意思！

从以上分析中，你可以体会到规定“假命题蕴涵一切命题”的好处。

为什么在 1) 中不能把“ $\rightarrow$ ”换成“ $\wedge$ ”？这是因为，如果 $x$ 不属于 $A$，那么 $x\in A \wedge \varphi(x)$ 一定是假的。量词“ $\forall$ ”意味着要取遍所有的 $x$ ，而总有一些 $x$ 是不属于 $A$ 的。因此， $\forall x(x\in A\wedge \varphi(x))$ 是一个恒为假的命题，没有什么用处。

**1) 2) 3) 这三个例子值得琢磨。如果充分理解它们，之后将会事半功倍。**如果你不想分析它们，也可以“take for granted”，记住它们对应的意思。

限于篇幅，本文只介绍了命题逻辑的公理系统（见选读 4），不再介绍一阶逻辑的公理系统。

罗素悖论

我们在中学所学的集合的定义，无非就是“一些元素所构成的整体”，并且还要定义一些性质：

确定性（一个对象要么属于集合 A ，要么不属于 A），

无序性（改变元素次序不改变集合），以及

互异性（集合中的任意两个元素不相同）。

这三个性质看似确定了集合的概念。然而，从现代数学的观点看来，它们只不过是朴素且漏洞百出的自然语言。它们没有说明集合是如何可能的，以及如何合法地定义新的集合等问题。

为了充分说明这一点，我们来看看罗素悖论。定义一个这样的集合

即 B 是全体“不属于自己的集合”所构成的集合。这个对象没有为朴素集合论所禁止，但却是灾难性的。

现在问一个简单的问题：B 属于自己吗？如果 B 属于自己，那么按照 B 的定义，B 就不属于自己，如果 B 不属于自己，那么根据定义，B 就属于自己。于是我们得到了“p当且仅当非p”，这违反了排中律。这就是罗素悖论。

（此处的悖论特指逻辑学意义上的悖论，即“p当且仅当非p”）

这样的对象应当被禁止，可是朴素集合论却没有禁止它。换言之，朴素集合论是“不一致的”。不一致的系统是没有用的，因为你可以从“p 当且仅当非 p”证明任意命题，证明如下

p → p ∨ q
(p ∨ q) ∧ (¬p) → q
所以 (p ∧ ¬p) → q

当然，在这个证明中，我们省略了很多步骤，因为我们还没有推导公理系统 L （见选读 3）中的更多定理。追求刨根问底的读者可以尝试用公理系统 L 给出完整的证明。这里，我们暂且接受它。

能推出一切命题的理论显然是无用的。所以人们要重新建立集合论。

我们之所以先介绍罗素悖论，是为了让读者感受到自然语言被取代的必要性。在接下来对集合论进行公理化的技术细节中，我们会解决罗素悖论，从而让读者体会到符号语言代替自然语言的重大意义。

本体论承诺（ZF0: 存在公理，Axiom of Existence）

在上一节中，我们看到了 $B=\{x|x\notin x\}$ 是一个不合法的定义。新的集合论应该要避免这个问题。如何避免？既然问题出在定义上，那我们可以从根源下手，用一套公理来确定定义新集合的规则，这样，当我们定义新集合的时候，只要看它有没有按照这些公理来进行即可。换言之，公理是我们定义新集合的唯一依据。

要从已有的集合定义新的集合，首先我们得有一个集合。因此我们的第一个公理叫做“存在公理”：

存在公理： $\exists x(x=x)$

它表明，存在一个集合。

别笑！如果我们只有一些由集合生成集合的规则，却没有一个集合可以用，那么数学宇宙就会是一无所有的。“巧妇难为无米之炊”，存在公理不是个玩笑。

当我们用符号去指称一个实体之前，我们总是假设了有一个实体是存在的。关于对实体的存在性的承诺就叫做本体论承诺。

这是一个不错的开始，因为这是我们第一次完全使用抽象符号，而不是说出“集合是一些元素所构成的整体”之类的自然语言。

实际上，存在公理可以由其他公理导出，但是为了学习的方便，我们暂且将它作为第“零”个公理，之后在适当的时机抛弃它。它其实就是个脚手架，当建筑建造完以后，它就会被拆除。

你可能注意到了“ $x=x$ ”是一句废话。为什么要这么做？因为根据公理系统的符号规则，“ $\exists x$ ”后面得跟上一些东西。由于我们只是想表达“存在一个集合”，所以后面只要跟上一个真命题即可。

你可能还注意到了 $x$ 只不过是一个符号，公式 $\exists x(x=x)$ 本身并没有表明它是一个“集合”，万一它是个数字呢？别急，到目前为止，数字还没有定义，因为我们把集合论当作基础。从基础出发意味着我们需要忘掉数学中的其他一切事物。

你可以想象这样一幅画面：数学的世界刚刚诞生，几乎空无一物，只有一个叫做“一阶逻辑”的星球漂浮于其中，上面有一些取之不尽的原料（符号库），地基（公理）以及一些符号规则（形成规则和推演规则）。然而，漫无目的地用规则不断生成新的公式（一串符号）是没有用的。我们需要创造出一些公理，从而让这些符号组织成一些有用的东西。这些最初的公理就是集合论的公理。后面我们会看到数字也是用集合定义的。

符号“ $x$ ”只是个“东西”，只不过我们把这个东西叫做集合。而本质上，建立在集合论上的一切数学对象都是集合：数字“ $3$ ”是个集合，有序对 $(1,2)$ 也是个集合……只不过当一个集合有了新的结构，我们会给它取上新的名字，比如“整数”、“有序对”、“环”、“概率空间”、“代数”等。如果你现在感到很诧异，没关系，后面我们会理解这一点。

你也可以这么理解，计算机上最复杂的软件，在底层都不过是 1 和 0，只是它们拥有复杂的组织和结构罢了。

现在我们已经有了一个公理。公理是不能被证明的东西，而是数学宇宙的上帝（也就是数学家们）凭空创造的。继续丰富我们的数学宇宙吧。

加入属于号（ZF1: 外延公理，Axiom of Extensionality）

在创造新的集合之前，我们还要定义如何判定两个集合相等：

外延公理： $\forall A \forall B(\forall x(x \in A\leftrightarrow x \in B)\rightarrow A=B)$

它表明：如果 A 中的每个元素都属于 B，且 B 中的每个元素都属于 A，那么 A 和 B 相等。

等等，我们还没有定义“ $\in$ ”是什么！没关系，在数理逻辑中我们有一个符号库，像“ $\forall$ ”、“ $\exists$ ”、甚至括号“ $($ ”这样的符号都在这个符号库中，我们只需要往符号库中加入一个新的符号“ $\in$ ”表示某种二元关系即可（“ $\notin$ ”可以用“ $\in$ ”和“ $\neg$ ”等符号来定义）。注意，符号库本身没有对符号做出任何规定和解释，给符号赋予结构和意义的是与之相关的公理。

需要强调，“ $\in$ ”只代表一种二元关系，人们会把“ $\in$ ”前面的对象想成是“被含有的东西”，后面的对象想成是“含有了一些东西的东西”，但是对于“ $\in$ ”来说，它前后的东西没有什么不同，都是某种“东西”。而“ $\in$ ”自己也不过是一个遵循某种规则的谓词而已。我们现在要习惯用忘掉一切的方式去思考，正如笛卡尔所做的那样。

这个公理的意义在于，它确定了符号“ $\in$ ”的第一个性质：相等。如果每个与 A 发生了“ $\in$ ”关系的对象都同样与 B 发生了“ $\in$ ”关系，且反之亦然，则我们说 A 和 B “相等”。

回到正题，注意到这个公理是如何蕴含了所谓的“确定性”、“无序性”和“互异性”。实际上，根据符号规则（这里我们没有列出），集合 $\{x,x,y\}$ 是一个合法的公式，只不过根据外延公理，它和 $\{x,y\}$ 相等罢了（$\{x,x,y\}$ 中的每个元素都属于$\{x,y\}$，反之亦然）。我们可以把所有和 $\{x,y\}$ 相等的集合都记作 $\{x,y\}$ 。这就是所谓的互异性；而无序性就更简单了，符号规则本身就没有对顺序做出任何规定，对集合内部的元素而言，唯一有用的信息就是二元关系“ $\in$ ”，并没有别的符号规定其他的关系，比如序关系（那是我们以后要定义的）；最后，确定性也是被蕴含的，因为这显然被逻辑学的基本规则（排中律）所确定了。可见我们根本就不需要用“互异性”之类的自然语言。

空集（ZF2: 分离公理模式，Axiom Schema of Separation）

到目前为止我们仍然没有一个确切的集合可以用，因为存在公理只是说明存在一个集合，并没有告诉我们关于这个集合的更多信息。当然，我们可以记这个存在的集合为 A，然后以它为原料来创造新的集合。但还有更好的做法，也就是定义一个空集作为原料。这样我们至少确切地知道这个原料是什么。

然而，从目前的公理，我们是定义不出空集的。我们还需要一个公理：

分离公理模式： $\forall A \exists B \forall x(x\in B\leftrightarrow x\in A \wedge \varphi(x))$

之所以叫它分离公理模式（Axiom Schema），是因为 $\varphi(x)$ 代表了任何一串（与 x 有关的）合法符号，也就是说，这一条公理包含了无数多条公理。下面我们就将其简称为分离公理。

分离公理的意义是，给定任意一个集合 A，我们可以依据性质 $\varphi$ ，将A中所有满足 $\varphi$ 的对象分离出来，构成一个新的集合。我们记这个新的集合为 $B=\{x\in A|\varphi(x)\}$ 。

终于，我们有了第一个构造性公理。构造性公理指的是从旧的集合构造出新的集合的规则。

当然，只知道这样的规则没有用，我们得先有一个“旧的集合”。幸好，由存在公理知道，我们至少是有一个“旧的集合”可以用的。

注意！我们通常所写的 $B=\{x|\varphi(x)\}$ ，在目前看来是不合法的，因为它并不是从已有的集合得到的，而是直接规定了一个性质 $\varphi$ ，并凭空地抽取了全体满足 $\varphi$ 的元素，来构成一个集合。**这实际上不是集合，而是一个“类”（Class）。它就是导致罗素悖论的罪魁祸首！**罗素悖论就是凭空抽取了全体满足“不属于自己”这个性质的元素来构成集合。这是错误的。这样做只能构成一个类，而不是一个集合。

存在公理断言存在一个集合，接下来我们就用分离公理构造一个确切的集合——空集。

根据存在公理，存在一个集合 $X$ （虽然我们不知道它具体是什么），再根据分离公理，$\{x\in X|x\neq x\}$ 是一个集合。

假命题 $x\neq x$ 可以推出 $x\in X$ ，当然也可以推出 $x\in Y$ ， $x\in Z$ 等，而 $X$ ， $Y$ ， $Z$ 有可能是不同的集合。也就是说这样的集合可能有很多个，但下面我们要用外延公理证明这些集合是相等的。

记$A= \{x\in X|x\neq x\} ,B= \{x\in Y |x\neq x\} $ 。其中 $X$ 和 $Y$ 是任意集合。我们只需要证明 $A=B$ 。

根据外延公理：$\forall A \forall B(\forall x(x \in A\leftrightarrow x \in B)\rightarrow A=B)$ 。可见我们只需要检查对于任意 $A$ 和 $B$ ，$\forall u(u \in A\leftrightarrow u \in B)$ 是否成立。

实际上，由于 $A= \{x\in X|x\neq x\}$ ，故对于任意 $x$ ， $x\in A$ 都是假的（否则会导出矛盾式 $x\neq x$ ）。而假命题可以推出一切命题，因此 $x \in A\rightarrow x \in B$ 。

（注意，$x \in A\rightarrow x \in B$ 为真并不代表 $x\in A$ 为真）

我们刚刚证明了 $\forall x (x \in A\rightarrow x \in B)$ ，而用同样的理由也可以证明 $\forall x (x \in B\rightarrow x \in A)$ ，所以 $\forall x (x \in B\leftrightarrow x \in A)$ ，从而 $A=B$ 。

这样一来，我们就证明了$\{x\in X|x\neq x\}$ 是唯一的，也就是说，它与 $X$ 具体是什么无关。我们将这个唯一确定的集合记作 $\emptyset$ ，称为空集。

从上述分析中可以发现，空集不包含任何东西，因为对于任意 $x$ ， $x\in \emptyset $ 都是假命题。

**注意到我们没有用“空集不包含任何东西”这样的自然语言来定义空集，而是先用公理来定义空集，再证明“空集不包含任何东西”。**这是形式公理化代替自然语言的一个体现。

我们现在终于有了一块砖头，接下来我们可以用空集这块砖头，去搭建更多的集合。不过在那之前，我们可以先把罗素悖论解决了。

也有其他版本的集合论公理系统会把“空集公理”作为一个公理，它断言：存在空集。而在我们的版本里，空集公理可以从存在公理+分离公理模式推导出来。

罗素悖论的解决

回想一下罗素悖论是怎么产生的。我们先是定义了$B=\{x|x\notin x\}$ ，并推出了 $B\in B\rightarrow B\notin B$ 以及 $B\in B\leftarrow B\notin B$ ，从而引起了矛盾。**为了解决罗素悖论，我们只需要使它们其中一个不成立即可。我们将要使后者不成立。**推导如下：

(1) 根据分离公理，可以定义 $B=\{x\in A|x\notin x\}$ 。称 $x\notin x$ 为性质 $\varphi$ 。

(2) 假设 $B\in B$ ，则根据 $B$ 的定义， $B$ 满足性质 $\varphi$ ，即 $B\notin B$ ，矛盾！所以只能有 $B\notin B$ 。

(3) 接下来我们证明 $B\notin A$ 。我们用反证法。假设 $B\in A$ 。

一方面，根据 (2)， $B\notin B$ ，即 $B$ 满足性质 $\varphi$ 。

另一方面，根据我们的假设，有 $B\in A$ 。
所以 B 属于 A 且 B 满足性质 $\varphi$ 。根据 $B$ 的定义， $B\in B$ ，这与(2)矛盾！所以 $B\notin A$ 。

既然 $B\notin A$ ，那么 $B\notin B$ 就不能推出 $B\in B$ 。

这样我们就解决了罗素悖论，即集合 $B$ 不属于自身，仅此而已，没有矛盾发生。

如果你觉得这一切发生的太快，我下面再用更自然的语言描述一遍**。本来我们是凭空地用性质“不属于自己”来定义一个集合 B，而分离公理模式告诉我们这样做不行。这就是问题的关键！我们必须要从一个已有的集合 A 分离出新的集合B，而 A 被证明是不含有元素 B 的，从而“B不属于自己”不能推出“B属于自己”。注意到从“B不属于B”推出“B属于B”还需要一个条件，就是“B属于A”。**

再换句话说，罗素悖论的关键在于“自我指代”，而分离公理消除了“自我指代”的可能。B 指代的只有 A 中的元素，而不是任何元素都能被 B 的定义指代。

以上的分析还证明了，对于任何一个集合 $A$ ，总有一个集合 $B=\{x\in A|x\notin x\}$ 不属于 $A$ （根据(3)）。因此，所有集合构成的集合是不存在的，或者说，包含一切的集合是不存在的。

中场休息

本文介绍了集合论公理系统的前三个公理——“存在公理”、“外延公理”以及“分离公理模式”，并用它们解决了罗素悖论，以及建造了我们的第一个集合——空集。

在下篇文章中，我们会介绍更多的公理，并用它们来创造一些数学对象，比如自然数。

存在公理可以由后面的“无穷公理”导出，但是为了学习的方便，有时候先将其作为第“零”个公理，之后再将其剔除。实际上只有 9 个公理，它们分别是

ZF1 外延公理

ZF2 分离公理模式

ZF3 对集公理

ZF4 并集公理

ZF5 幂集公理

ZF6 无穷公理（可以导出存在公理）

ZF7 正则公理

ZF8 替换公理模式

ZF9 选择公理

前八个公理构成所谓的“ZF”公理系统，再加上选择公理就构成“ZFC公理系统”。“Z”和“F”提出者姓名的首字母，“C”则代表“Axiom of Choice”——选择公理。

本篇文章的续集：

公理集合论基础（下）：迈向无穷